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lundi 12 mars 2007 à 11:08 :: Actualités
Le nombre d’or dans la nature
a ) - le règne végétal
La Fleur de Tournesol
La Pomme de Pin
b) - le règne animal et l’homme
Expérience sur l’homme
L’exemple des abeilles
Le coquillage Nautile
c) - les phénomènes de croissances
Le nombre d’or est-il vraiment une clé universelle d’harmonie ? Sans aller aussi loin, il est sûr qu’il est présent dans la nature.
Il suffit de couper une pomme en deux : les pépins dessinent un pentacle. Des mathématiciens l’ont aussi trouvé dans la disposition des pétales des fleurs ou encore dans la façon dont s’enroulent les écailles d’une pomme de pin ou d’un ananas.
a ) - le règne végétal
Considérations préliminaires :
Soit Un la suite de Fibonacci ; la limite de la suite de terme générale Un/Un-2 est f^2. Les premiers termes de cette suite sont : 2, 3, 5/2, …..
Il existe un très grand nombre de fleurs comportant cinq pétales régulièrement répartis. Les extrémités de ces pétales sont placées aux extrémités d’un pentagone régulier. La liaison avec le nombre d’or est ainsi évidente.
Examinons la façon dont les feuilles sont placées par rapport à la tige, en nous limitant au cas où les feuilles sont dites alternes ou isolées : chaque feuille s’attache à la tige par un nœud donné (voir figure suivante typique d’espèces tel que le poirier, le chêne ou le pommier) .
Les différents nœuds sont placés sur une sorte d’hélice qui s’enroule autour de la tige, qui est assimilable à un cylindre de section droite circulaire. On observe d’autre part que les nœuds sont à l’intersection de l’hélice et de cinq génératrices du cylindre, lesquelles rencontrent le pourtour de la section droite en des points qui sont quasiment les sommets d’un pentagone régulier.
Si partant d’un nœud quelconque (par exemple 1), on décrit l’hélice, le 1er nœud que l’on rencontre n’est pas sur la génératrice suivante (n°4), mais sur la génératrice qui vient encore après (ce nœud est donc le nœud 2 ) et ainsi de suite. En conséquence, les points 1, 2, 3, 4, et 5 de la section droite se présentent dans le même ordre que les sommets d’un pentagone étoilé :
Il faut donc, partant d’un nœud, décrire deux spires de l’hélice pour retrouver un nœud sur la même génératrice. Rapprochons le nombre 2 (nombre minimal de spires entre 2 nœuds ayant le même numéro) et le nombre cinq (nombre de génératrice comportant des nœuds) et considérons le rapport 2/5. Ce rapport est le cycle foliaire caractéristique du poirier, du chêne, ….. Pour d’autres espèces ce rapport est différent :
§ 1 /2 pour le tilleul ou l’orme ;
§ 1 /3 pour l’aulne.
Circonstance remarquable : les rapports 1 /2, 1/3, 2/5 pris dans cet ordre sont respectivement les rapports inverses des trois premiers termes de la série étudié précédemment qui tend vers f².
L’étude de la disposition des feuilles sur la tige des plantes permet de différencier, et donc de reconnaître, les différentes espèces existentes. Cette étude est appellée la phyllotaxie.
La phyllotaxie fournit de nombreux exemples de la présence du nombre d’or dans la nature. Il convient tout d'abord d'expliquer ici en quelques mots ce qu'est la phyllotaxie : c'est en fait une branche de la botanique qui étudie la disposition des feuilles sur les tiges des plantes. L' une des utilités de cette discipline est de pouvoir caractériser, et donc reconnaitre, les différentes espèces existantes.
L' un des facteurs ainsi observé est la "divergence" de la feuille, c'est à dire l'écartement angulaire entre deux feuilles successives sur la tige. Maintenant, imaginez une hélice passant par l'extrémité de chaque feuille, de la plus basse à la plus élevée. Soit p le nombre de tours de l'hélice et q le nombre d'extrémités qu'elle rencontre (on ne prendra pas en compte la première). La fraction p / q caractérise alors la divergence des feuilles de la plante.
Jusqu'ici, rien d'extraordinaire. Sauf que les termes de cette fraction tendent à être les suivants :
1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, ... Regardez bien les numérateurs : et oui, on retombe sur des termes successifs de la suite de Fibonacci ! Et il en va de même pour les dénominateurs.
Cette disposition assure en fait aux plantes un maximum de lumière et d'aération sur toutes leurs feuilles. Les mathématiques, sciences abstraites par excellence, décrivent donc ici très bien un domaine plutot terre à terre !
Les nombres de Fibonacci se manifestent aussi dans la disposition des rameaux sur le pédoncule d'une plante au cours de son développement (voir schéma suivant) : la tige de la jeune plante donne naissance à deux nouvelles tiges lesquelles feront de même. En comptant le nombre de feuilles sur chaque plan horizontal, on y trouve, comme dans la généalogie des lapins, un nombre de Fibonacci.
Sur le schéma si contre est présenté l'exemple de la mille-feuille.
Suivent quelques exemples présents dans la nature :
La Fleur de Tournesol
On distingue des spirales sur beaucoup de végétaux comme par exemple les cœurs de tournesol, l'écorce des ananas ou bien l'écorce des pommes de pin. Ce qui est étonnant, c'est que la suite de Fibonacci apparaît dans ces spirales.
En effet, une fleur de tournesol est constituée de deux groupes de spirales. Différents chercheurs l'ont expliqué par la croissance des plantes et ont utilisé des modèles informatiques et des expériences de laboratoire.
D'après les chercheurs l'apparition des spirales est fondée sur l'angle d'or égal à 360°/ (1+phi)=137,5°. La croissance de la plante forme deux séries de spirales tournant en sens contraire. Le nombre de ces spirales correspond dans chacun des cas à deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci. Par exemple (13; 21) ou (34; 55) ou (55; 89) ou (89; 144).
La Pomme de Pin
La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens.
8 et 13 sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci : 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13.
Ses écailles sont alignées selon la spirale de Fibonacci : on représente les 4 coins des écailles de la pomme de pin par des points. Lorsqu'on relie ces points, on obtient des spirales qui tournent vers la droite, et d'autres vers la gauche.
Ø le nombre de spirales vers la gauche et vers la droite sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.
Ø chaque point appartient à deux spirales. Les nombres de points sur chacune de ces spirales sont aussi deux nombres de la suite de Fibonacci.
Ø Lorsque l'on rejoint tous les points par une seule spirale, l'angle entre deux points consécutifs est l'angle d’or
Cet emplacement en spirale se retrouve fréquemment dans la nature, notamment avec les plantes spiralées, comme par exemple les graines de tournesol, l'écorce d'ananas ou le coeur d'une marguerite.
Les "fleurons" du coeur d'une marguerite sont alignés
selon la spirale de Fibonacci.
b) - le règne animal et l’homme
Il est facile de retrouver le nombre d’or chez des animaux dont la structure ou la forme est liée au pentagone étoilé, mais c’est surtout à propos du corps humain et du visage que l’on invoque le nombre d’or. On avance généralement que, dès la plus lointaine Antiquité, les observateurs avaient remarqué :
§ Que le nombril divise le corps humain suivant le nombre d’or, c’est a dire que le rapport de la hauteur totale du corps humain à la hauteur du nombril (rapport que nous désignerons par R) est égal au nombre d’or.
§ Que le rapport de la première phalange à la deuxième (ou de la deuxième à la troisième) est égal au nombre d’or…etc.
Tant que l’on se contente d’à -peu-près, on peut considérer de telles affirmations comme exactes. Cependant, on ne peut se satisfaire d’à -peu-près du fait qu’il existe des nombres très voisins du nombre d’or dont " l’essence " est complètement différente.
De nombreuses esquisses ou dessins ont parus contenir le nombre d’or. Le plus célèbre est tiré d’un ouvrage allemand du 16ième siècle. On l’attribue à un certain Agrippa de Nettesheim. Dans celui-ci, le haut de la tête et les extrémités des quatre membres sont disposées au sommet d’un pentagone régulier inscrit dans un cercle .Dans ce dessin, le nombril divise approximativement le diamètre vertical du cercle (égal à la hauteur du corps) suivant une valeur du rapport R égal à 5/3.
On retrouve presque cette même valeur sur un dessin de Léonard de Vinci, le corps humain étant cette fois inscrit dans un carré. Une autre valeur de R est parfois avancée : 8/5 (voir illustration suivante).
On constate que ces deux rapports, 5/3 et 8/5 encadrent le nombre d’or, et figurent dans la suite de Fibonacci (voir 3) a) ) .
Expérience sur l’homme :
Divisez la hauteur totale de votre corps par la partie nombril pieds
divisez la partie sous le nombril par la partie supérieure du corps
rapport 2° phalange – 3° phalange …
On obtient encore et toujours le nombre d’or.
On peut retrouver le même phénomène chez les animaux ou les insectes.
Prenons l’exemple des abeilles
Les abeilles font partie de la famille des Hyménoptères (ordre d'invertébrés) qui comprend aussi les guêpes et environ 100 000 espèces de fourmis. Quasiment toutes les espèces de cette famille ont une particularité chimique assez curieuse: les oeufs fécondés donnent naissance à des femelles tandis que ceux qui ne l'ont pas été donnent naissance à des mâles. Chez les abeilles, c'est donc la reine qui contrôle le sexe d'un oeuf en décidant ou non de le féconder à partir du sperme emmagasiné des mois, voire des années auparavant lors du vol nuptial. Ainsi, génétiquement parlant, l'abeille femelle a un père et une mère (la reine), alors que l'abeille mâle a une mère uniquement.
On schématise les ancêtres (M=mâle ; F=femelle) d'une abeille mâle.
En remontant les générations, on trouve donc des nombres d'ancêtres égaux aux nombres de la suite de Fibonacci .
On remarque également qu'à chaque génération, les nombres de femelles et de mâles sont deux nombres consécutifs de cette suite.
Alors que l'application de la suite Fibonacci à la descendance des lapins s'appuie sur des moyennes et des statistiques, et ne s'avère pas exacte dans la réalité (notamment parce que la mort des lapins n'est pas prise en compte), l'ascendance des Hyménoptères suit parfaitement cette suite.
Le coquillage Nautile
Le coquillage nautile a une forme de spirale logarithmique.On peut la dessiner à partir d'une série de rectangles d'or:
.
ABCD, AEFG, EFHI et JKFH sont des rectangles d'or .La spirale obtenue est une spirale d'or.
c) - les phénomènes de croissances
Certains scientifiques ont poussés leurs recherches sur le nombre d’or jusqu’à le retrouver dans les phénomènes de croissance .Il faut cependant rester méfiant à partir de ce stade car aucune expérience scientifique ou statistique n’a été réellement réalisée.
En réalité, ces phénomènes de croissances tiennent plus de la suite de Fibonacci que du réel nombre d’or. En effet, si l’on considère q’un grand nombre de faits élémentaires ressortent de suites voisines de la suite de Fibonacci à savoir :
Un = mU(Un-1) + pU(Un-2) + qU(Un-3) …. ,
On peut conclure, dans le cas particulier où cette suite se particularise avec la suite de Fibonacci que la croissance se fait en progression géométrique de raison j . Cependant il ne faut pas conclure que le nombre d’or soit en cause, chaque fois que se manifeste une croissance en progression géométrique .La même prudence est de rigueur à l’égard des formes spiralées, liée aux phénomènes de croissances que l’on rencontre aussi bien dans le règne animal (coquillage, plumage du paon,…..) , que dans le règne végétal (capitule de la fleur de marguerite, graines de tournesol, …) .
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